Упр.727(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) все члены этой прогрессии с чётными номерами также образуют геометрическую прогрессию;
б) все члены этой прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $$b_n$$ со знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

а) Рассмотрим последовательность, составленную из членов с чётными номерами:

$$c_n=b_{2n}=b_1q^{2n-1}.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$c_{n+1}=b_{2n+2}=b_1q^{2n+1},$$

$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{b_1q^{2n+1}}{b_1q^{2n-1}}=q^2.$$

Отношение соседних членов постоянно, значит, последовательность $$c_n$$ является геометрической прогрессией.

б) Рассмотрим последовательность, составленную из членов с нечётными номерами:

$$c_n=b_{2n-1}=b_1q^{2n-2}.$$

Тогда

$$c_{n+1}=b_{2n+1}=b_1q^{2n},$$

$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{b_1q^{2n}}{b_1q^{2n-2}}=q^2.$$

Следовательно, и эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ

а) Члены геометрической прогрессии с чётными номерами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$q^2$$.
б) Члены геометрической прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$q^2$$.