Упр.726(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 50^2 — 49^2 + 48^2 — 47^2 + … + 4^2 — 3^2 + 2^2 — 1^2;
б) 1^2 — 2^2 + 3^2 — 4^2 + … + 97^2 — 98^2 + 99^2 — 100^2.
Указание. Упростите выражение, воспользовавшись формулой разности квадратов.

а) Преобразуем каждую разность квадратов по формуле $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$:

$$ 50^2-49^2+48^2-47^2+\dots+2^2-1^2 $$

$$ =(50-49)(50+49)+(48-47)(48+47)+\dots+(2-1)(2+1) $$

$$ =99+95+\dots+3. $$

Получили арифметическую прогрессию с первым членом $$99$$, последним $$3$$ и разностью $$-4$$.

Число членов:

$$ n=\frac{99-3}{4}+1=25. $$

Сумма:

$$ S_{25}=\frac{99+3}{2}\cdot 25=51\cdot 25=1275. $$

б) Аналогично:

$$ 1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+99^2-100^2 $$

$$ =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\dots+(99-100)(99+100) $$

$$ =-3-7-\dots-199. $$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $$-3$$, последним $$-199$$ и разностью $$-4$$.

Число членов:

$$ n=\frac{-199-(-3)}{-4}+1=50. $$

Сумма:

$$ S_{50}=\frac{-3+(-199)}{2}\cdot 50=\frac{-202}{2}\cdot 50=-101\cdot 50=-5050. $$

Ответ

а) $$1275$$; б) $$-5050$$.