Упр.725(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: В арифметической прогрессии сумма первых пяти членов равна сумме первых семи членов. Докажите, что сумма первых двенадцати членов этой прогрессии равна нулю.

Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$a_6=a_1+5d,\quad a_7=a_1+6d.$$

Суммы первых пяти и первых семи членов равны:

$$S_5=S_7.$$

Вычтем из второй суммы первую:

$$S_7-S_5=0.$$

Но

$$S_7-S_5=a_6+a_7,$$

значит,

$$a_6+a_7=0.$$

Подставим выражения для $$a_6$$ и $$a_7$$:

$$a_1+5d+a_1+6d=0,$$

$$2a_1+11d=0.$$

Теперь найдём сумму первых 12 членов арифметической прогрессии:

$$S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2a_1+11d\bigr).$$

Так как $$2a_1+11d=0$$, то

$$S_{12}=6\cdot 0=0.$$

Ответ

$$S_{12}=0.$$