Упр.724(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

2) Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна 14, сумма следующих её четырёх членов равна 46. Найдите:
а) сумму членов этой прогрессии с девятого по двенадцатый включительно;
б) сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

1) Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$ a_1=a_1,\quad a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_9=a_1+8d. $$

Суммы трёх подряд идущих членов:

$$ S_1=a_1+a_2+a_3=3a_1+3d, $$
$$ S_2=a_4+a_5+a_6=3a_1+12d, $$
$$ S_3=a_7+a_8+a_9=3a_1+21d. $$

Найдём разности соседних членов:

$$ S_2-S_1=(3a_1+12d)-(3a_1+3d)=9d, $$
$$ S_3-S_2=(3a_1+21d)-(3a_1+12d)=9d. $$

Разности равны, значит, последовательность $$S_1, S_2, S_3$$ — арифметическая прогрессия.

2) Сумма первых четырёх членов:

$$ S_{1-4}=a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=14. $$

Сумма следующих четырёх членов:

$$ S_{5-8}=a_5+a_6+a_7+a_8=4a_1+22d=46. $$

Вычтем первое равенство из второго:

$$ (4a_1+22d)-(4a_1+6d)=46-14, $$
$$ 16d=32,\quad d=2. $$

Найдём $$a_1$$:

$$ 4a_1+6\cdot 2=14, $$
$$ 4a_1=2,\quad a_1=\frac12. $$

а) Сумма членов с девятого по двенадцатый:

$$ S_{9-12}=a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}. $$
Это сумма четырёх членов арифметической прогрессии, начиная с $$a_9$$. Тогда

$$ S_{9-12}=4a_1+38d=4\cdot \frac12+38\cdot 2=2+76=78. $$

б) Сумма первых шестнадцати членов:

$$ S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}{2}\cdot 16. $$

$$ a_{16}=a_1+15d=\frac12+15\cdot 2=\frac12+30=\frac{61}{2}. $$

$$ S_{16}=\frac{\frac12+\frac{61}{2}}{2}\cdot 16=\frac{31}{2}\cdot 16=248. $$

Ответ

1) $$S_1, S_2, S_3$$ — арифметическая прогрессия; 2) а) $$78$$; б) $$248$$.