Упр.722(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Докажите, что последовательность натуральных чисел, которые при делении па k дают в остатке r, является арифметической прогрессией с разностью k.

а) Числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, можно записать так:

$$a_n=3n+2.$$

Тогда

$$a_{n+1}=3(n+1)+2=3n+5.$$

Найдём разность соседних членов:

$$d=a_{n+1}-a_n=(3n+5)-(3n+2)=3.$$

Разность постоянна, значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

б) Числа, которые при делении на $$k$$ дают остаток $$r$$, можно записать так:

$$a_n=kn+r.$$

Тогда

$$a_{n+1}=k(n+1)+r=kn+k+r.$$

Найдём разность соседних членов:

$$d=a_{n+1}-a_n=(kn+k+r)-(kn+r)=k.$$

Разность постоянна, значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ

а) $$d=3$$; б) последовательность является арифметической прогрессией, её разность равна $$k$$.