Упр.719(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) a_n = (n + 1)/n; б) b_n = (2n — 1)/n;
Для каждой последовательности:
1) вычислите первые пять её членов;
2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;
3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

а) $$a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$

1) Первые пять членов:

$$a_1=\frac{1+1}{1}=2,$$
$$a_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2},$$
$$a_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3},$$
$$a_4=\frac{4+1}{4}=\frac{5}{4},$$
$$a_5=\frac{5+1}{5}=\frac{6}{5}.$$

Значит, $$2;\ \frac{3}{2};\ \frac{4}{3};\ \frac{5}{4};\ \frac{6}{5};\dots$$

2) Найдём разность соседних членов:

$$a_n-a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0.$$

Следовательно, $$a_n>a_{n+1}$$, значит, последовательность убывает.

3) Так как $$n\in \mathbb{N}$$, то $$\frac{1}{n}\in(0,1]$$, поэтому

$$1<a_n\le 2.$$

Все члены последовательности принадлежат промежутку $$[1;2]$$.

б) $$b_n=\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n}$$

1) Первые пять членов:

$$b_1=\frac{2\cdot1-1}{1}=1,$$
$$b_2=\frac{2\cdot2-1}{2}=\frac{3}{2},$$
$$b_3=\frac{2\cdot3-1}{3}=\frac{5}{3},$$
$$b_4=\frac{2\cdot4-1}{4}=\frac{7}{4},$$
$$b_5=\frac{2\cdot5-1}{5}=\frac{9}{5}.$$

Значит, $$1;\ \frac{3}{2};\ \frac{5}{3};\ \frac{7}{4};\ \frac{9}{5};\dots$$

2) Найдём разность:

$$b_{n+1}-b_n=\left(2-\frac{1}{n+1}\right)-\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0.$$

Следовательно, $$b_{n+1}>b_n$$, значит, последовательность возрастает.

3) Так как $$n\in \mathbb{N}$$, то $$0<\frac{1}{n}\le 1$$, поэтому

$$1\le b_n<2.$$

Все члены последовательности принадлежат промежутку $$[1;2]$$.

Ответ

а) $$2;\ \frac{3}{2};\ \frac{4}{3};\ \frac{5}{4};\ \frac{6}{5};\dots$$, последовательность убывает, $$a_n\in[1;2]$$.
б) $$1;\ \frac{3}{2};\ \frac{5}{3};\ \frac{7}{4};\ \frac{9}{5};\dots$$, последовательность возрастает, $$b_n\in[1;2]$$.