Упр.655(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом — является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна 3/4 см^2, то чему равна площадь исходного прямоугольника?
б) Площадь какого по счёту четырёхугольника равна 6 см^2? Какая это фигура — прямоугольник или ромб?

Все получающиеся четырёхугольники — параллелограммы, поэтому их площадь равна половине произведения диагоналей.

Пусть стороны первого прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда его площадь

$$S_1=xy.$$

У второго четырёхугольника диагонали равны сторонам первого, значит его площадь

$$S_2=\frac12xy=\frac12S_1.$$

Далее каждый следующий четырёхугольник имеет площадь в 2 раза меньше предыдущего, то есть площади образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac12.$$

Следовательно,

$$S_n=S_1\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

а) Восьмой по счёту четырёхугольник — ромб, так как номера ромбов чётные.

По условию

$$S_8=\frac34.$$

Тогда

$$S_1\left(\frac12\right)^7=\frac34,$$

$$S_1=\frac34\cdot 2^7=96.$$

Значит, площадь исходного прямоугольника равна $$96\text{ см}^2$$.

б) Найдём номер четырёхугольника, площадь которого равна $$6\text{ см}^2$$:

$$96\left(\frac12\right)^{n-1}=6,$$

$$\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{6}{96}=\frac1{16}=\frac1{2^4},$$

$$n-1=4,$$

$$n=5.$$

Пятый четырёхугольник — прямоугольник, так как нечётные номера соответствуют прямоугольникам.

Ответ

а) $$96\text{ см}^2$$; б) пятый, прямоугольник.