Упр.559(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
(у — 0,5x^2)(у — 2) = 0 и (y — 0,5x^2)/(y — 2) = 0. График первого уравнения состоит из параболы у = 0,5х^2 и прямой у = 2, т. е. он является их объединением. График второго уравнения — это парабола у = 0,5х^2 без точек, принадлежащих прямой у = 2.
Рассуждая аналогично, постройте графики уравнений:
а) (x^2 + y^2 — 4)(y^2 — x^2) = 0, (x^2 + y^2 — 4)/(y^2 — x^2) = 0, (y^2 — x^2)/(x^2 + y^2 — 4) = 0;
б) (xy — 2)(y — 2x) = 0, (xy — 2)/(y — 2x) = 0, (y — 2x)/(xy — 2) = 0.
Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Если дробь равна нулю, то её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а)
$$\left(x^2+y^2-4\right)\left(y^2-x^2\right)=0$$
Это объединение графиков уравнений
$$x^2+y^2-4=0 \quad \text{и} \quad y^2-x^2=0.$$
Первое уравнение задаёт окружность
$$x^2+y^2=4,$$
второе — две прямые
$$y^2=x^2 \Rightarrow y=\pm x.$$
Значит, график — окружность радиуса $2$ с центром в начале координат и две прямые $y=x$ и $y=-x$.
$$\frac{x^2+y^2-4}{y^2-x^2}=0$$
Здесь
$$x^2+y^2-4=0,\qquad y^2-x^2\ne 0.$$
Следовательно, это окружность
$$x^2+y^2=4,$$
но без точек, лежащих на прямых
$$y=x \quad \text{и} \quad y=-x.$$
$$\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2-4}=0$$
Здесь
$$y^2-x^2=0,\qquad x^2+y^2-4\ne 0.$$
Значит, график состоит из прямых
$$y=x \quad \text{и} \quad y=-x,$$
но без точек, принадлежащих окружности
$$x^2+y^2=4.$$
б)
$$\left(xy-2\right)\left(y-2x\right)=0$$
Это объединение графиков уравнений
$$xy-2=0 \quad \text{и} \quad y-2x=0.$$
Первое уравнение задаёт гиперболу
$$xy=2 \Rightarrow y=\frac{2}{x},$$
второе — прямую
$$y=2x.$$
Значит, график — гипербола $y=\frac{2}{x}$ и прямая $y=2x$.
$$\frac{xy-2}{y-2x}=0$$
Здесь
$$xy-2=0,\qquad y-2x\ne 0.$$
Следовательно, это гипербола
$$y=\frac{2}{x},$$
но без точки пересечения с прямой $y=2x$.
$$\frac{y-2x}{xy-2}=0$$
Здесь
$$y-2x=0,\qquad xy-2\ne 0.$$
Значит, график — прямая
$$y=2x,$$
но без точки пересечения с гиперболой $y=\frac{2}{x}$.
Ответ
а) $$\left(x^2+y^2-4\right)\left(y^2-x^2\right)=0$$ — окружность $$x^2+y^2=4$$ и прямые $$y=\pm x$$; $$\frac{x^2+y^2-4}{y^2-x^2}=0$$ — окружность $$x^2+y^2=4$$ без точек на $$y=\pm x$$; $$\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2-4}=0$$ — прямые $$y=\pm x$$ без точек окружности $$x^2+y^2=4$$.
б) $$\left(xy-2\right)\left(y-2x\right)=0$$ — гипербола $$y=\frac{2}{x}$$ и прямая $$y=2x$$; $$\frac{xy-2}{y-2x}=0$$ — гипербола $$y=\frac{2}{x}$$ без точки пересечения с $$y=2x$$; $$\frac{y-2x}{xy-2}=0$$ — прямая $$y=2x$$ без точки пересечения с $$y=\frac{2}{x}$$.
