Упр.558(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите алгебраическим методом, что система уравнений $$2x-y=4$$, $$x+y=2$$ и $$x^2+y^2=4$$ имеет решение, и притом только одно. Дайте графическую иллюстрацию данного утверждения.
2. Найдите такое значение $$r$$, при котором система уравнений $$x-y=-3$$, $$x+2y=6$$ и $$x^2+y^2=r^2$$ имеет решение.

1. Решим систему из первых двух уравнений:

   $$\begin{cases} 2x-y=4,\\ x+y=2,\\ x^2+y^2=4. \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем $$y=2x-4$$. Подставим во второе:

   $$x+(2x-4)=2,$$
   $$3x=6,$$
   $$x=2.$$

   Тогда

   $$y=2\cdot 2-4=0.$$

   Проверим третье уравнение:

   $$2^2+0^2=4,$$

   верно. Значит, система имеет решение $$\left(2;0\right)$$, и оно единственное.

   Графически это означает, что прямая $$y=2x-4$$, прямая $$y=2-x$$ и окружность $$x^2+y^2=4$$ пересекаются только в одной точке $$\left(2;0\right)$$.

2. Решим систему:

   $$\begin{cases} x-y=-3,\\ x+2y=6,\\ x^2+y^2=r^2. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x+3.$$

   Подставим во второе:

   $$x+2(x+3)=6,$$
   $$3x+6=6,$$
   $$3x=0,$$
   $$x=0.$$

   Тогда

   $$y=0+3=3.$$

   Чтобы система имела решение, точка $$\left(0;3\right)$$ должна лежать на окружности $$x^2+y^2=r^2$$:

   $$0^2+3^2=r^2,$$
   $$r^2=9,$$
   $$r=\pm 3.$$

Ответ

1) Единственное решение: $$\left(2;0\right)$$.

2) $$r=\pm 3$$.