Упр.558(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
2x — y = 4 и x + y = 2 и x^2 + y^2 = 4
имеет решение, и притом только одно. Дайте графическую иллюстрацию данного утверждения.
2) Найдите такое значение r, при котором система уравнений
х — у = -3 и x + 2y = 6 и x^2 + y^2 = r^2
имеет решение.
Решим систему из первых двух уравнений:
$$ \begin{cases} 2x-y=4,\\ x+y=2,\\ x^2+y^2=4. \end{cases} $$
Из первого уравнения получаем $$y=2x-4$$. Подставим во второе:
$$ x+(2x-4)=2, $$
$$ 3x=6, $$
$$ x=2. $$Тогда
$$ y=2\cdot 2-4=0. $$
Проверим третье уравнение:
$$ 2^2+0^2=4, $$
верно. Значит, система имеет решение $$\left(2;0\right)$$, и оно единственное.
Графически это означает, что прямая $$y=2x-4$$, прямая $$y=2-x$$ и окружность $$x^2+y^2=4$$ пересекаются только в одной точке $$\left(2;0\right)$$.
Решим систему:
$$ \begin{cases} x-y=-3,\\ x+2y=6,\\ x^2+y^2=r^2. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y=x+3. $$
Подставим во второе:
$$ x+2(x+3)=6, $$
$$ 3x+6=6, $$
$$ 3x=0, $$
$$ x=0. $$Тогда
$$ y=0+3=3. $$
Чтобы система имела решение, точка $$\left(0;3\right)$$ должна лежать на окружности $$x^2+y^2=r^2$$:
$$ 0^2+3^2=r^2, $$
$$ r^2=9, $$
$$ r=\pm 3. $$
Ответ
1) Единственное решение: $$\left(2;0\right)$$.
2) $$r=\pm 3$$.
