Упр.554(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений $$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=18,\\(x-1)(y-2)=9\end{cases}$$ с помощью подходящей замены.

Сделаем замену:

$$a=x-1,\quad b=y-2.$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a^2+b^2=18,\\ ab=9. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $$b$$:

$$b=\frac{9}{a}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$a^2+\left(\frac{9}{a}\right)^2=18.$$

Умножим на $$a^2$$:

$$a^4-18a^2+81=0.$$

Обозначим $$t=a^2$$. Тогда:

$$t^2-18t+81=0,$$

$$(t-9)^2=0.$$

Следовательно, $$t=9$$, то есть

$$a^2=9,\quad a=\pm 3.$$

Если $$a=3$$, то

$$b=\frac{9}{3}=3,$$

откуда

$$x-1=3,\quad y-2=3,$$

$$x=4,\quad y=5.$$

Если $$a=-3$$, то

$$b=\frac{9}{-3}=-3,$$

откуда

$$x-1=-3,\quad y-2=-3,$$

$$x=-2,\quad y=-1.$$

Ответ

$$( -2;\,-1 )$$ и $$(4;\,5).$$