Упр.550(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

550. Решите систему уравнений:
     а) $$\begin{cases}(x^2-y^2)(x+y)=32,\\x-y=2;\end{cases}$$
     б) $$\begin{cases}(x^2-y^2)(x-y)=20,\\x+y=5.\end{cases}$$

а) $$\begin{cases}(x^2-y^2)(x+y)=32,\\ x-y=2.\end{cases}$$

Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ то

$$\begin{cases}(x-y)(x+y)^2=32,\\ x-y=2.\end{cases}$$

Подставим $$x-y=2$$:

$$2(x+y)^2=32,$$

$$(x+y)^2=16.$$

Тогда

$$x+y=4 \text{ или } x+y=-4.$$

Решим обе системы:

$$\begin{cases}x-y=2,\\ x+y=4,\end{cases} \qquad \begin{cases}x-y=2,\\ x+y=-4.\end{cases}$$

1) $$x=3,\ y=1.$$

2) $$x=-1,\ y=-3.$$

Значит, решения системы: $$(-1;\,-3)$$ и $$(3;\,1).$$

б) $$\begin{cases}(x^2-y^2)(x-y)=20,\\ x+y=5.\end{cases}$$

Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ получаем

$$\begin{cases}(x+y)(x-y)^2=20,\\ x+y=5.\end{cases}$$

Подставим $$x+y=5$$:

$$5(x-y)^2=20,$$

$$(x-y)^2=4.$$

Тогда

$$x-y=2 \text{ или } x-y=-2.$$

Решим обе системы:

$$\begin{cases}x+y=5,\\ x-y=2,\end{cases} \qquad \begin{cases}x+y=5,\\ x-y=-2.\end{cases}$$

1) $$x=\frac{7}{2}=3{,}5,\ y=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

2) $$x=\frac{3}{2}=1{,}5,\ y=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

Значит, решения системы: $$(1{,}5;\,3{,}5)$$ и $$(3{,}5;\,1{,}5).$$

Ответ

а) $$(-1;\,-3),\ (3;\,1).$$
б) $$(1{,}5;\,3{,}5),\ (3{,}5;\,1{,}5).$$