Упр.546(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Из пункта A в пункт B выехал автобус, и одновременно с ним из В в А выехал автомобиль. Они встретились в пункте С, причём расстояние, пройденное автомобилем до места встречи,оказалось на 50 км больше пройденного автобусом. Автобус прибыл в конечный пункт через 3 ч после встречи, а автомобиль — через 1 ч 20 мин. На каком расстоянии от пункта А произошла встреча? За какое время автомобиль прошёл всё расстояние?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км — расстояние от пункта $$A$$ до пункта встречи $$C$$. Тогда расстояние, пройденное автомобилем, равно $$x+50$$ км.

Автобус был в пути до встречи $$3$$ часа, значит его скорость:

$$\frac{x+50}{3}$$ км/ч.

Автомобиль после встречи ехал $$1\text{ ч }20\text{ мин}=\frac{4}{3}$$ ч, значит его скорость:

$$\frac{x}{4/3}=\frac{3x}{4}$$ км/ч.

Так как до встречи оба ехали одинаковое время, составим уравнение по отношению расстояний и скоростей:

$$\frac{x}{(x+50)/3}=\frac{x+50}{3x/4}$$

После преобразований получаем:

$$ \frac{3x}{x+50}=\frac{4(x+50)}{3x} \\ 3x\cdot 3x=4(x+50)(x+50) \\ 9x^2=4(x^2+100x+2500) \\ 9x^2=4x^2+400x+10000 \\ 5x^2-400x-10000=0 \\ x^2-80x-2000=0 $$

Найдём корни:

$$ D=80^2+4\cdot 2000=14400=120^2 $$

$$ x=\frac{80\pm 120}{2} $$

$$ x_1=-20,\quad x_2=100 $$

Отрицательное значение не подходит, значит $$x=100$$ км.

Тогда всё расстояние равно $$100+50=150$$ км, а время движения автомобиля на весь путь:

$$ \frac{150}{3x/4}=\frac{150}{75}=2 $$

Удобнее найти по условию: автомобиль после встречи ехал $$1\text{ ч }20\text{ мин}$$, а до встречи — столько же, сколько автобус до встречи, то есть $$3$$ часа. Значит, всего он был в пути:

$$3\text{ ч }20\text{ мин}$$.