Упр.542(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) 1/(x — 1) — 1/(x — 2) = 1/(x — 3) — 1/(x — 4);
Указание. Преобразуйте отдельно левую и правую части уравнения.

1. а)

   $$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-3}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5}$$

   Преобразуем левую и правую части:
   $$\frac{x-3+x+2}{(x+2)(x-3)}=\frac{x-5+x+4}{(x+4)(x-5)}$$
   $$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{2x-1}{x^2-x-20}$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{2x-1}{x^2-x-6}-\frac{2x-1}{x^2-x-20}=0$$
   $$ (2x-1)\left(\frac{1}{x^2-x-6}-\frac{1}{x^2-x-20}\right)=0 $$

   Отсюда
   $$2x-1=0,$$
   значит
   $$x=\frac{1}{2}.$$

   Проверим область допустимых значений:
   $$x\neq -2,\; x\neq 3,\; x\neq -4,\; x\neq 5.$$
   Значение $$x=\frac{1}{2}$$ подходит.

2. б)

   $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}$$

   Преобразуем отдельно левую и правую части:
   $$\frac{x-2-(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-4-(x-3)}{(x-3)(x-4)}$$
   $$\frac{-1}{x^2-3x+2}=\frac{-1}{x^2-7x+12}$$

   Тогда
   $$x^2-3x+2=x^2-7x+12,$$
   $$4x=10,$$
   $$x=\frac{5}{2}.$$

   Проверим ОДЗ:
   $$x\neq 1,\; x\neq 2,\; x\neq 3,\; x\neq 4.$$
   Значение $$x=\frac{5}{2}$$ подходит.

Ответ

а) $$x=\frac{1}{2}$$; б) $$x=\frac{5}{2}$$.