Упр.541(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) 4(x^2 + 1/x^2) — 8(x — 1/x) = 5;
Указание, а) Используя формулу a^2 + b^2 = (a + b)^2 — 2ab, выразите x^2 + 1/x^2 через x + 1/x. Далее введите замену: x + 1/x = y.
б) Выразите x^2 + 1/x^2 через x — 1/x.

а) Обозначим $$y=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2.$$

Подставим в уравнение:

$$2\left(y^2-2\right)-3y+2=0,$$

$$2y^2-3y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac12.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac12,$$ то

$$2x^2+x+2=0.$$

Дискриминант:

$$D=1-16=-15<0,$$

действительных корней нет.

б) Обозначим $$y=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2.$$

Подставим в уравнение:

$$4\left(y^2+2\right)-8y=5,$$

$$4y^2-8y+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac32.$$

1) Если $$x-\frac{1}{x}=\frac12,$$ то

$$2x^2-x-2=0,$$

$$D=1+16=17,$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}.$$

2) Если $$x-\frac{1}{x}=\frac32,$$ то

$$2x^2-3x-2=0,$$

$$D=9+16=25,$$

$$x=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Отсюда

$$x=-\frac12,\qquad x=2.$$

Ответ

а) $$x=1.$$ б) $$x=-\frac12,\ 2,\ \frac{1-\sqrt{17}}{4},\ \frac{1+\sqrt{17}}{4}.$$