Упр.540(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) $$1+\frac{x-4}{x-3}=\frac{x}{x+4}+\frac{7x}{x^2+x-12}$$;

б) $$1-\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x^2-2x-3}-\frac{4}{x-3}$$;

в) $$\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}=\frac{24}{x^3+8}$$;

г) $$\frac{3x}{x^3-1}-\frac{3}{x^2+x+1}=\frac{1}{x-1}$$.

1. а) $$1+\frac{x-4}{x-3}=\frac{x}{x+4}+\frac{7x}{x^2+x-12}$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$

   Тогда

   $$1+\frac{x-4}{x-3}-\frac{x}{x+4}-\frac{7x}{(x+4)(x-3)}=0$$

   Умножим на $$(x+4)(x-3)$$:

   $$(x+4)(x-3)+(x+4)(x-4)-x(x-3)-7x=0$$

   $$x^2-3x+4x-12+x^2-16-x^2+3x-7x=0$$

   $$x^2-3x-28=0$$

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-28)=9+112=121$$

   $$x=\frac{3\pm 11}{2}$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=7$$

   ОДЗ: $$x\neq 3,\; x\neq -4$$. Значит, подходит только $$x=7$$.

2. б) $$1-\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x^2-2x-3}-\frac{4}{x-3}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$

   Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$(x-3)(x+1)$$:

   $$(x-3)(x+1)-2(x-3)-5+4(x+1)=0$$

   $$x^2+x-3x-3-2x+6-5+4x+4=0$$

   $$x^2+2=0$$

   Корней нет, так как $$x^2=-2$$ невозможно.

   ОДЗ: $$x\neq -1,\; x\neq 3$$.

3. в) $$\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}=\frac{24}{x^3+8}$$

   Заметим, что

   $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$

   Тогда умножим уравнение на $$(x+2)(x^2-2x+4)$$:

   $$2(x^2-2x+4)-6(x+2)-24=0$$

   $$2x^2-4x+8-6x-12-24=0$$

   $$2x^2-10x-28=0$$

   $$x^2-5x-14=0$$

   $$D=25+56=81$$

   $$x=\frac{5\pm 9}{2}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=7$$

   ОДЗ: $$x\neq -2$$. Значит, подходит только $$x=7$$.

4. г) $$\frac{3x}{x^3-1}-\frac{3}{x^2+x+1}=\frac{1}{x-1}$$

   Разложим:

   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

   Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$(x-1)(x^2+x+1)$$:

   $$3x-3(x-1)-(x^2+x+1)=0$$

   $$3x-3x+3-x^2-x-1=0$$

   $$-x^2-x+2=0$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$x=\frac{-1\pm 3}{2}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=1$$

   ОДЗ: $$x\neq 1$$, а также $$x^2+x+1\neq 0$$. Следовательно, подходит только $$x=-2$$.

Ответ

а) $$7$$; б) решений нет; в) $$7$$; г) $$-2$$.