Упр.531(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции: а) $$y=\frac{x^2-1}{x-1}$$, если $$x>0$$, и $$y=\frac{x^2-1}{1-x}$$, если $$x\leq 0$$; б) $$y=\frac{x^2-4}{x-2}$$, если $$x\geq 0$$, и $$y=\frac{x^2-4}{x+2}$$, если $$x<0$$.

Подробный ответ

а) Упростим выражения в каждой части:

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\qquad x\ne 1$$
$$\frac{x^2-1}{1-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{1-x}=-\frac{(1-x)(x+1)}{1-x}=-x-1,\qquad x\ne 1$$

Значит, график состоит из двух частей:

при $$x>0$$ — прямая $$y=x+1$$, но точка $$x=1$$ исключается;
при $$x\le 0$$ — прямая $$y=-x-1$$, также без точки $$x=1$$, которая здесь не входит в область определения.

Для построения отметим несколько точек:

$$x=-1 \Rightarrow y=0,\qquad x=0 \Rightarrow y=1$$
$$x=-1 \Rightarrow y=0,\qquad x=0 \Rightarrow y=-1$$

На графике получаются две лучевые части прямых с выколотой точкой $$\left(1,2\right)$$ на первой части и точкой $$\left(0,-1\right)$$ на второй части.

б) Аналогично упростим выражения:

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\qquad x\ne 2$$
$$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2,\qquad x\ne -2$$

Тогда:

при $$x\ge 0$$ график задаётся прямой $$y=x+2$$, но точка $$x=2$$ исключается;
при $$x<0$$ график задаётся прямой $$y=x-2$$, но точка $$x=-2$$ исключается.

Для построения удобно взять точки:

$$x=0 \Rightarrow y=2,\qquad x=2 \Rightarrow y=4$$
$$x=-2 \Rightarrow y=-4,\qquad x=0 \Rightarrow y=-2$$

Итак, график состоит из двух частей прямых с выколотыми точками $$\left(2,4\right)$$ и $$\left(-2,-4\right)$$.

Ответ

а) $$y=x+1$$ при $$x>0$$ и $$y=-x-1$$ при $$x\le 0$$, при этом точка $$\left(1,2\right)$$ выколота.
б) $$y=x+2$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=x-2$$ при $$x<0$$, при этом точки $$\left(2,4\right)$$ и $$\left(-2,-4\right)$$ выколоты.