Упр.528(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) (x^2 + 4x + 4)/(2x^3 — x^2 — 8x + 4) : (x + 2)/(2x^2 — 5x + 2) = 1;
б) (2x — 6)/(x^4 + x^2 — 2) · (x^3 — x^2 + 2x — 2)/(3 — x) = -2x/(x + 1).

а) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{x^2+4x+4}{2x^3-x^2-8x+4}:\frac{x+2}{2x^2-5x+2} = \frac{(x+2)^2}{2x^3-x^2-8x+4}\cdot\frac{2x^2-5x+2}{x+2} $$

Разложим многочлены на множители:

$$ 2x^3-x^2-8x+4=x^2(2x-1)-4(2x-1)=(x^2-4)(2x-1)=(x-2)(x+2)(2x-1), $$
$$ 2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2). $$

Тогда

$$ \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)(2x-1)}\cdot\frac{(2x-1)(x-2)}{x+2}=1. $$

Следовательно, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{2x-6}{x^4+x^2-2}\cdot\frac{x^3-x^2+2x-2}{3-x} = \frac{2(x-3)}{x^4+x^2-2}\cdot\frac{x^2(x-1)+2(x-1)}{3-x}. $$

Разложим на множители:

$$ x^4+x^2-2=x^2(x^2-1)+2(x^2-1)=(x^2+2)(x^2-1)=(x^2+2)(x-1)(x+1), $$
$$ x^3-x^2+2x-2=(x-1)(x^2+2), $$
$$ 3-x=-(x-3). $$

Тогда

$$ \frac{2(x-3)}{(x^2+2)(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(x-1)(x^2+2)}{-(x-3)} = -\frac{2}{x+1}. $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$1$$;
б) $$-\frac{2}{x+1}$$.