Упр.528(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите тождество (528—530).

а) $$\frac{x^2+4x+4}{2x^3-x^2-8x+4}:\frac{x+2}{2x^2-5x+2}=1$$;

б) $$\frac{2x-6}{x^4+x^2-2}\cdot\frac{x^3-x^2+2x-2}{3-x}=\frac{-2x}{x+1}$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{x^2+4x+4}{2x^3-x^2-8x+4}:\frac{x+2}{2x^2-5x+2} = \frac{(x+2)^2}{2x^3-x^2-8x+4}\cdot\frac{2x^2-5x+2}{x+2}$$

Разложим многочлены на множители:

$$2x^3-x^2-8x+4=x^2(2x-1)-4(2x-1)=(x^2-4)(2x-1)=(x-2)(x+2)(2x-1),$$
$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2).$$

Тогда

$$\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)(2x-1)}\cdot\frac{(2x-1)(x-2)}{x+2}=1.$$

Следовательно, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{2x-6}{x^4+x^2-2}\cdot\frac{x^3-x^2+2x-2}{3-x} = \frac{2(x-3)}{x^4+x^2-2}\cdot\frac{x^2(x-1)+2(x-1)}{3-x}.$$

Разложим на множители:

$$x^4+x^2-2=x^2(x^2-1)+2(x^2-1)=(x^2+2)(x^2-1)=(x^2+2)(x-1)(x+1),$$
$$x^3-x^2+2x-2=(x-1)(x^2+2),$$
$$3-x=-(x-3).$$

Тогда

$$\frac{2(x-3)}{(x^2+2)(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(x-1)(x^2+2)}{-(x-3)} = -\frac{2}{x+1}.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$1$$;
б) $$-\frac{2}{x+1}$$.