Упр.527(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: а) если $$a^2=b^2+c^2$$ и $$abc\ne0$$, то $$\frac{bc-a}{bc}-\frac{ac-b}{ac}-\frac{ab-c}{ab}=-1$$; б) если $$a+b+c=0$$ и $$abc\ne0$$, то $$\frac{bc-1}{bc}+\frac{ac-1}{ac}+\frac{ab-1}{ab}=3$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{b-a}{bc}-\frac{ac-b}{ac}-\frac{ab-c}{ab} = \frac{a(bc-a)-b(ac-b)-c(ab-c)}{abc}$$

$$\frac{abc-a^2-abc+b^2-abc+c^2}{abc} = \frac{b^2+c^2-a^2-abc}{abc}$$

Так как $$a^2=b^2+c^2$$, то

$$\frac{b^2+c^2-a^2-abc}{abc} = \frac{-abc}{abc} = -1$$

Следовательно, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{bc-1}{bc}+\frac{ac-1}{ac}+\frac{ab-1}{ab} = \frac{a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)}{abc}$$

$$\frac{abc-a+abc-b+abc-c}{abc} = \frac{3abc-(a+b+c)}{abc}$$

Так как $$a+b+c=0$$, получаем:

$$\frac{3abc-(a+b+c)}{abc} = \frac{3abc}{abc} = 3$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$-1$$;
б) $$3$$.