Упр.521(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение выражения $$\frac{1}{a^2+b^2-2a+4b+10}$$. При каких значениях $$a$$ и $$b$$ оно достигается?

Преобразуем знаменатель:

$$a^2+b^2-2a+4b+10=(a^2-2a+1)+(b^2+4b+4)+5=(a-1)^2+(b+2)^2+5.$$

Так как $$(a-1)^2 \ge 0$$ и $$(b+2)^2 \ge 0,$$ то

$$(a-1)^2+(b+2)^2+5 \ge 5.$$

Значит, знаменатель не меньше $$5$$, а дробь

$$\frac{1}{a^2+b^2-2a+4b+10}$$

наибольшая, когда знаменатель наименьший, то есть равен $$5$$.

Это происходит при

$$(a-1)^2=0,\quad (b+2)^2=0,$$

откуда

$$a=1,\quad b=-2.$$

Ответ

Наибольшее значение равно $$\frac{1}{5}$$ и достигается при $$a=1$$, $$b=-2$$.