Упр.521(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1/(a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10).
При каких значениях а и b оно достигается?

Преобразуем знаменатель:

$$a^2+b^2-2a+4b+10=(a^2-2a+1)+(b^2+4b+4)+5=(a-1)^2+(b+2)^2+5.$$

Так как $$ (a-1)^2 \ge 0 $$ и $$ (b+2)^2 \ge 0, $$ то

$$ (a-1)^2+(b+2)^2+5 \ge 5. $$

Значит, знаменатель не меньше $$5$$, а дробь

$$\frac{1}{a^2+b^2-2a+4b+10}$$

наибольшая, когда знаменатель наименьший, то есть равен $$5$$.

Это происходит при

$$ (a-1)^2=0,\quad (b+2)^2=0, $$

откуда

$$a=1,\quad b=-2.$$

Ответ

Наибольшее значение равно $$\frac{1}{5}$$ и достигается при $$a=1$$, $$b=-2$$.