Упр.4.93 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
1) Рассмотрите геометрическую прогрессию
3; 6; 12; 24; 48; … .
Возьмите любой член этой прогрессии и убедитесь в том, что он равен среднему геометрическому двух соседних членов. (Напомним, что среднее геометрическое двух положительных чисел а и b равно v(ab).)
2) Пусть последовательность (b_n) — геометрическая прогрессия, членами которой являются положительные числа. Докажите, что любой член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.
3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — геометрическая прогрессия, в которой q > 0:
а) b_1; 6; b_3; 54; b_5; b_6; …;
б) 9; b_2; 27; …; b_6; 243; b_8; … .
1) В геометрической прогрессии $$3; 6; 12; 24; 48; \ldots$$ любой член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних:
$$12=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{144}=12.$$
Значит, свойство выполняется.
2) Пусть $$\left(b_n\right)$$ — геометрическая прогрессия с положительными членами и знаменателем $$q$$. Тогда
$$b_{n-1}=b_1q^{n-2}, \quad b_n=b_1q^{n-1}, \quad b_{n+1}=b_1q^n.$$
Найдём среднее геометрическое соседних с $$b_n$$ членов:
$$\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}=\sqrt{b_1q^{n-2}\cdot b_1q^n}=\sqrt{(b_1)^2q^{2n-2}}=b_1q^{n-1}=b_n.$$
Что и требовалось доказать.
3) Найдём пропущенные члены.
$$b_1;\ 6;\ b_3;\ 54;\ b_5;\ b_6;\ldots$$
$$b_3=\sqrt{b_2b_4}=\sqrt{6\cdot 54}=\sqrt{324}=18,$$
так как $$q>0$$.
$$q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{54}{18}=3,$$
$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{6}{3}=2,$$
$$b_5=b_4q=54\cdot 3=162,$$
$$b_6=b_5q=162\cdot 3=486.$$
$$9;\ b_2;\ 27;\ \ldots;\ b_6;\ 243;\ b_8;\ldots$$
$$b_2=\sqrt{b_1b_3}=\sqrt{9\cdot 27}=\sqrt{9\cdot 9\cdot 3}=9\sqrt{3},$$
так как $$q>0$$.
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3},$$
$$b_6=\frac{243}{q}=\frac{243}{\sqrt{3}}=81\sqrt{3},$$
$$b_8=b_7q=243\sqrt{3}.$$
Ответ
1) Да. 2) $$b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}.$$ 3) а) $$2;\ 6;\ 18;\ 54;\ 162;\ 486;\ldots$$ б) $$9;\ 9\sqrt{3};\ 27;\ \ldots;\ 81\sqrt{3};\ 243;\ 243\sqrt{3};\ldots$$
