Упр.4.91 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность: а) $$x; x^2; x^3; x^4; x^5; \ldots$$, где $$x \ne 0$$; б) $$x; x+1; x+2; x+3; x+4; \ldots$$; в) $$x; 2x; 3x; 4x; 5x; \ldots$$; г) $$x; ax; a^2x; a^3x; a^4x; \ldots$$, где $$x \ne 0$$ и $$a \ne 0$$?

1. $$x,\; x^2,\; x^3,\; x^4,\; x^5,\ldots,\quad x\ne 0$$

   Пусть $$b_n=x^n$$. Тогда

   $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{x^{n+1}}{x^n}=x.$$

   Отношение соседних членов постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.

2. $$x,\; x+1,\; x+2,\; x+3,\; x+4,\ldots$$

   Пусть $$b_n=x+(n-1)$$. Тогда

   $$b_{n+1}=x+n,$$

   $$b_{n+1}-b_n=(x+n)-\bigl(x+n-1\bigr)=1.$$

   Разность соседних членов постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

3. $$x,\; 2x,\; 3x,\; 4x,\; 5x,\ldots$$

   Пусть $$b_n=nx.$$ Тогда

   $$b_{n+1}=(n+1)x,$$

   $$b_{n+1}-b_n=(n+1)x-nx=x.$$

   Разность соседних членов постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

4. $$x,\; ax,\; a^2x,\; a^3x,\; a^4x,\ldots,\quad x\ne 0,\ a\ne 0$$

   Пусть $$b_n=a^{n-1}x$$. Тогда

   $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a^n x}{a^{n-1}x}=a.$$

   Отношение соседних членов постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.

Ответ

а) геометрическая; б) арифметическая; в) арифметическая; г) геометрическая.