Упр.4.86 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) Площади первого, второго, третьего и т. д. квадратов образуют некоторую последовательность. Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией. Назовите несколько её членов. Запишите формулу n-го члена этой последовательности.
б) Запишите несколько членов последовательности, составленной из длин сторон квадратов. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Запишите формулу n-го члена этой последовательности.

а) Площадь первого квадрата:

$$S_1=12^2=144.$$

У второго квадрата диагонали равны стороне первого квадрата, поэтому его площадь в 2 раза меньше:

$$S_2=\frac12 S_1=72.$$

Аналогично для третьего квадрата:

$$S_3=\frac12 S_2=36.$$

Значит, последовательность площадей является геометрической прогрессией со знаменателем

$$q=\frac12.$$

Несколько её членов:

$$144,\ 72,\ 36,\ 18,\ldots$$

Формула n-го члена:

$$S_n=S_1\cdot q^{\,n-1}=144\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

б) Длины сторон квадратов образуют последовательность:

$$12,\ 6\sqrt2,\ 6,\ 3\sqrt2,\ 3,\ldots$$

Каждый следующий член получается умножением на одно и то же число

$$q=\frac1{\sqrt2}.$$

Следовательно, это тоже геометрическая прогрессия.

Формула n-го члена:

$$b_n=12\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n-1}.$$

Ответ

а) $$144,\ 72,\ 36,\ 18,\ldots$$, геометрическая прогрессия, $$q=\frac12$$, $$S_n=144\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

б) $$12,\ 6\sqrt2,\ 6,\ 3\sqrt2,\ 3,\ldots$$, геометрическая прогрессия, $$q=\frac1{\sqrt2}$$, $$b_n=12\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n-1}.$$