Упр.4.85 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 2; 22; 4; 42; …;
б) 5; 5; 1; 5/5; … .
В каждом случае запишите формулу n-го члена этой прогрессии и найдите: 15-й член; 20-й член.

а) Последовательность: $$2;\ 2\sqrt{2};\ 4;\ 4\sqrt{2};\ 8;\ 8\sqrt{2};\ 16;\ldots$$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

$$q=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$$

Тогда формула n-го члена:

$$b_n=b_1q^{n-1}=2(\sqrt{2})^{\,n-1}.$$

Следующие три члена прогрессии:

$$b_5=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8,$$

$$b_6=8\cdot \sqrt{2}=8\sqrt{2},$$

$$b_7=8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=16.$$

Найдём 15-й и 20-й члены:

$$b_{15}=2(\sqrt{2})^{14}=2\cdot 2^7=256,$$

$$b_{20}=2(\sqrt{2})^{19}=2\cdot 2^9\sqrt{2}=1024\sqrt{2}.$$

б) Последовательность: $$5;\ \sqrt{5};\ 1;\ \frac{1}{\sqrt{5}};\ \frac{1}{5};\ \frac{1}{5\sqrt{5}};\ \frac{1}{25};\ldots$$

Найдём знаменатель:

$$q=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Формула n-го члена:

$$b_n=5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{n-1}=5\cdot (\sqrt{5})^{\,1-n}=(\sqrt{5})^{\,3-n}.$$

Следующие три члена прогрессии:

$$b_5=\frac{1}{5},$$

$$b_6=\frac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{25},$$

$$b_7=\frac{1}{25}.$$

Найдём 15-й и 20-й члены:

$$b_{15}=5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{14}=\frac{1}{15625},$$

$$b_{20}=5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{19}=\frac{\sqrt{5}}{1953125}.$$

Ответ

а) $$q=\sqrt{2},\ b_n=2(\sqrt{2})^{\,n-1},\ b_{15}=256,\ b_{20}=1024\sqrt{2};$$ следующие три члена: $$8;\ 8\sqrt{2};\ 16.$$

б) $$q=\frac{1}{\sqrt{5}},\ b_n=5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{n-1},\ b_{15}=\frac{1}{15625},\ b_{20}=\frac{\sqrt{5}}{1953125};$$ следующие три члена: $$\frac{1}{5};\ \frac{1}{5\sqrt{5}};\ \frac{1}{25}.$$