Упр.4.84 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 2; 2v2; 4; 4v2; …;
б) 5; v5; 1; v5/5; … .
В каждом случае запишите формулу n-го члена этой прогрессии и найдите: 15-й член; 20-й член.

а) Последовательность: $$2;\ 2\sqrt{2};\ 4;\ 4\sqrt{2};\ 8;\ 8\sqrt{2};\ 16;\ldots$$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

$$q=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}=2(\sqrt{2})^{\,n-1}=(\sqrt{2})^2(\sqrt{2})^{\,n-1}=(\sqrt{2})^{\,n+1}.$$

Следующие три члена:

$$b_5=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8,$$

$$b_6=8\cdot\sqrt{2}=8\sqrt{2},$$

$$b_7=8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=16.$$

Найдём нужные члены:

$$b_{15}=(\sqrt{2})^{16}=2^8=256,$$

$$b_{20}=(\sqrt{2})^{21}=(\sqrt{2})^{20}\cdot\sqrt{2}=2^{10}\sqrt{2}=1024\sqrt{2}.$$

б) Последовательность: $$5;\ \sqrt{5};\ 1;\ \frac{\sqrt{5}}{5};\ \frac{1}{5};\ \frac{\sqrt{5}}{25};\ \frac{1}{25};\ldots$$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

$$q=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}=5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{n-1}=(\sqrt{5})^2(\sqrt{5})^{-n+1}=(\sqrt{5})^{3-n}.$$

Следующие три члена:

$$b_5=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5},$$

$$b_6=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{25},$$

$$b_7=\frac{\sqrt{5}}{25}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{25}.$$

Найдём нужные члены:

$$b_{15}=(\sqrt{5})^{3-15}=(\sqrt{5})^{-12}=\frac{1}{(\sqrt{5})^{12}}=\frac{1}{5^6}=\frac{1}{15625},$$

$$b_{20}=(\sqrt{5})^{3-20}=(\sqrt{5})^{-17}=\frac{1}{(\sqrt{5})^{17}}=\frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^{18}}=\frac{\sqrt{5}}{5^9}=\frac{\sqrt{5}}{1953125}.$$

Ответ

а) $$q=\sqrt{2};\ 4\sqrt{2},\ 8,\ 8\sqrt{2};\ b_n=(\sqrt{2})^{n+1};\ b_{15}=256;\ b_{20}=1024\sqrt{2}.$$

б) $$q=\frac{1}{\sqrt{5}};\ \frac{1}{5},\ \frac{\sqrt{5}}{25},\ \frac{1}{25};\ b_n=(\sqrt{5})^{3-n};\ b_{15}=\frac{1}{15625};\ b_{20}=\frac{\sqrt{5}}{1953125}.$$