Упр.4.83 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
1) Является ли геометрической или арифметической прогрессией последовательность, n-й член которой вычисляется по формуле:
а) b_n = 2 · 3^n;
б) b_n = 2 — 3n;
в) b_n = 2 — 3^n;
г) b_n = 3 · (1/2)^n?
2) Запишите формулу n-го члена каждой последовательности и определите, является ли она арифметической или геометрической прогрессией:
а) последовательность натуральных степеней числа 2;
б) последовательность квадратов натуральных чисел;
в) последовательность натуральных чисел, кратных 5;
г) последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.
Проверим, является ли последовательность арифметической или геометрической прогрессией.
а) $$b_n=2\cdot 3^n$$
$$b_{n+1}=2\cdot 3^{n+1}$$
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2\cdot 3^{n+1}}{2\cdot 3^n}=3$$
Отношение соседних членов постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
б) $$b_n=2-3n$$
$$b_{n+1}=2-3(n+1)=2-3n-3=-1-3n$$
$$d=b_{n+1}-b_n=(-1-3n)-(2-3n)=-3$$
Разность соседних членов постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
в) $$b_n=2-3^n$$
$$b_{n+1}=2-3^{n+1}$$
$$b_{n+1}-b_n=(2-3^{n+1})-(2-3^n)=3^n-3^{n+1}$$
Разность соседних членов не постоянна. Также отношение $$\frac{b_{n+1}}{b_n}$$ не является постоянным, значит, это не прогрессия.
г) $$b_n=3\cdot \left(\frac12\right)^n$$
$$b_{n+1}=3\cdot \left(\frac12\right)^{n+1}$$
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot \left(\frac12\right)^{n+1}}{3\cdot \left(\frac12\right)^n}=\frac12$$
Отношение соседних членов постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
а) Последовательность натуральных степеней числа 2:
$$2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ \ldots,\ 2^n,\ \ldots$$
$$a_n=2^n$$
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2$$
Это геометрическая прогрессия.
б) Последовательность квадратов натуральных чисел:
$$1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ \ldots,\ n^2,\ \ldots$$
$$b_n=n^2$$
$$b_{n+1}-b_n=(n+1)^2-n^2=2n+1$$
Разность не постоянна, а отношение соседних членов тоже не постоянно, значит, это не прогрессия.
в) Последовательность натуральных чисел, кратных 5:
$$5,\ 10,\ 15,\ \ldots,\ 5n,\ \ldots$$
$$c_n=5n$$
$$c_{n+1}-c_n=5(n+1)-5n=5$$
Это арифметическая прогрессия.
г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2:
$$2,\ 7,\ 12,\ \ldots,\ 5n-3,\ \ldots$$
$$x_n=5n-3$$
$$x_{n+1}-x_n=\bigl(5(n+1)-3\bigr)-(5n-3)=5$$
Это арифметическая прогрессия.
Ответ
1) а) геометрическая; б) арифметическая; в) не является прогрессией; г) геометрическая.
2) а) $$a_n=2^n$$, геометрическая; б) $$b_n=n^2$$, не является прогрессией; в) $$c_n=5n$$, арифметическая; г) $$x_n=5n-3$$, арифметическая.
