Упр.4.70 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что четыре положительных чётных числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна $$100$$. Найдите эти числа. Сколько решений имеет задача?

Пусть четыре числа образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ a_1+3d.$$

По условию их сумма равна $$100$$, значит

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)=100,$$

$$4a_1+6d=100,$$

$$2a_1+3d=50,$$

$$a_1=25-\frac{3}{2}d.$$

Все числа положительные и чётные. Тогда разность $$d$$ тоже чётная. Кроме того, из условия положительности первого числа:

$$25-\frac{3}{2}d>0,$$

$$d<\frac{50}{3}.$$

Значит, возможны чётные значения $$d$$: $$2,4,6,8,10,12,14,16$$.

Проверим их:

• при $$d=2$$: $$a_1=25-3=22$$, числа $$22,24,26,28$$;
• при $$d=4$$: $$a_1=25-6=19$$ — не подходит, так как число нечётное;
• при $$d=6$$: $$a_1=25-9=16$$, числа $$16,22,28,34$$;
• при $$d=8$$: $$a_1=25-12=13$$ — не подходит;
• при $$d=10$$: $$a_1=25-15=10$$, числа $$10,20,30,40$$;
• при $$d=12$$: $$a_1=25-18=7$$ — не подходит;
• при $$d=14$$: $$a_1=25-21=4$$, числа $$4,18,32,46$$;
• при $$d=16$$: $$a_1=25-24=1$$ — не подходит.

Подходят только четыре набора чисел.

Ответ

$$22,24,26,28$$; $$16,22,28,34$$; $$10,20,30,40$$; $$4,18,32,46$$. Всего $$4$$ решения.