Упр.4.70 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Известно, что четыре положительных чётных числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 100. Найдите эти числа. Сколько решений имеет задача?

Пусть четыре числа образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ a_1+3d.$$

По условию их сумма равна $100$, значит

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)=100,$$

$$4a_1+6d=100,$$

$$2a_1+3d=50,$$

$$a_1=25-\frac{3}{2}d.$$

Все числа положительные и чётные. Тогда разность $d$ тоже чётная. Кроме того, из условия положительности первого числа:

$$25-\frac{3}{2}d>0,$$

$$d<\frac{50}{3}.$$

Значит, возможны чётные значения $d$: $2,4,6,8,10,12,14,16$.

Проверим их:

• при $d=2$: $a_1=25-3=22$, числа $22,24,26,28$;
• при $d=4$: $a_1=25-6=19$ — не подходит, так как число нечётное;
• при $d=6$: $a_1=25-9=16$, числа $16,22,28,34$;
• при $d=8$: $a_1=25-12=13$ — не подходит;
• при $d=10$: $a_1=25-15=10$, числа $10,20,30,40$;
• при $d=12$: $a_1=25-18=7$ — не подходит;
• при $d=14$: $a_1=25-21=4$, числа $4,18,32,46$;
• при $d=16$: $a_1=25-24=1$ — не подходит.

Подходят только четыре набора чисел.

Ответ

$22,24,26,28$; $16,22,28,34$; $10,20,30,40$; $4,18,32,46$. Всего $4$ решения.