Упр.4.68 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, кратных 5, надо сложить, чтобы получить сумму, большую 275? большую 330?

Пусть первые $$n$$ последовательных натуральных чисел, кратных $$5$$, имеют вид $$5, 10, 15, \dots, 5n$$.

Это арифметическая прогрессия с $$a_1=5$$ и $$d=5$$. Тогда

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{5+5n}{2}\cdot n=\frac{5n+5n^2}{2}.$$

1) Сумма больше $$275$$:

$$\frac{5n+5n^2}{2}>275$$

$$5n+5n^2>550$$

$$5n^2+5n-550>0$$

$$n^2+n-110>0$$

Найдём корни уравнения $$n^2+n-110=0$$:

$$D=1+440=441=21^2,$$

$$n_1=\frac{-1-21}{2}=-11,\qquad n_2=\frac{-1+21}{2}=10.$$

Тогда

$$(n+11)(n-10)>0,$$

откуда для натуральных $$n$$ получаем $$n>10$$, значит, наименьшее $$n=11$$.

2) Сумма больше $$330$$:

$$\frac{5n+5n^2}{2}>330$$

$$5n+5n^2>660$$

$$5n^2+5n-660>0$$

$$n^2+n-132>0$$

Найдём корни уравнения $$n^2+n-132=0$$:

$$D=1+528=529=23^2,$$

$$n_1=\frac{-1-23}{2}=-12,\qquad n_2=\frac{-1+23}{2}=11.$$

Тогда

$$(n+12)(n-11)>0,$$

откуда для натуральных $$n$$ получаем $$n>11$$, значит, наименьшее $$n=12$$.

Ответ

Больше $$275$$ — $$11$$ чисел; больше $$330$$ — $$12$$ чисел.