Упр.4.68 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, кратных 5, надо сложить, чтобы получить сумму, большую 275? большую 330?

Пусть первые $$n$$ последовательных натуральных чисел, кратных $$5$$, имеют вид $$5, 10, 15, \dots, 5n$$.

Это арифметическая прогрессия с $$a_1=5$$ и $$d=5$$. Тогда

$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{5+5n}{2}\cdot n=\frac{5n+5n^2}{2}. $$

1) Сумма больше $$275$$:

$$ \frac{5n+5n^2}{2}>275 $$

$$ 5n+5n^2>550 $$

$$ 5n^2+5n-550>0 $$

$$ n^2+n-110>0 $$

Найдём корни уравнения $$n^2+n-110=0$$:

$$ D=1+440=441=21^2, $$

$$ n_1=\frac{-1-21}{2}=-11,\qquad n_2=\frac{-1+21}{2}=10. $$

Тогда

$$ (n+11)(n-10)>0, $$

откуда для натуральных $$n$$ получаем $$n>10$$, значит, наименьшее $$n=11$$.

2) Сумма больше $$330$$:

$$ \frac{5n+5n^2}{2}>330 $$

$$ 5n+5n^2>660 $$

$$ 5n^2+5n-660>0 $$

$$ n^2+n-132>0 $$

Найдём корни уравнения $$n^2+n-132=0$$:

$$ D=1+528=529=23^2, $$

$$ n_1=\frac{-1-23}{2}=-12,\qquad n_2=\frac{-1+23}{2}=11. $$

Тогда

$$ (n+12)(n-11)>0, $$

откуда для натуральных $$n$$ получаем $$n>11$$, значит, наименьшее $$n=12$$.

Ответ

Больше $$275$$ — $$11$$ чисел; больше $$330$$ — $$12$$ чисел.