Упр.4.60 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса? 10 поясов?
б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

Число кругов в каждом новом поясе образует арифметическую прогрессию:

$$6;\ 12;\ 18;\ \ldots$$

Значит, в $n$-м поясе находится

$$a_n=6n.$$

Тогда число всех кругов в шестиугольнике с $n$ поясами равно

$$S_n=1+\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=1+\frac{6+6n}{2}\cdot n=3n(n+1)+1=3n^2+3n+1.$$

а)

При $n=3$:

$$S_3=3\cdot 3^2+3\cdot 3+1=27+9+1=37.$$

При $n=10$:

$$S_{10}=3\cdot 10^2+3\cdot 10+1=300+30+1=331.$$

б)

Если в шестиугольнике $127$ кругов, то

$$3n^2+3n+1=127.$$

Тогда

$$3n^2+3n-126=0,$$

$$n^2+n-42=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+168=169,$$

$$n=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

Получаем $n=6$ или $n=-7$. Подходит только натуральное значение $n=6$.

Ответ

а) $37$ кругов; $331$ круг.
б) $6$ поясов.