Упр.4.60 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. 4.60. Круги укладывают в форме шестиугольника так, как показано на рисунке 4.8: в центре помещают один круг и укладывают вокруг него круги таким образом, что они образуют пояса — первый, второй, третий и т. д. Определите закономерность, по которой увеличивается число кругов в поясах.
   
   а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем $$3$$ пояса? $$10$$ поясов?
   
   б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём $$127$$ кругов?

Число кругов в каждом новом поясе образует арифметическую прогрессию:

$$6;\ 12;\ 18;\ \ldots$$

Значит, в $$n$$-м поясе находится

$$a_n=6n.$$

Тогда число всех кругов в шестиугольнике с $$n$$ поясами равно

$$S_n=1+\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=1+\frac{6+6n}{2}\cdot n=3n(n+1)+1=3n^2+3n+1.$$

а)

При $$n=3$$:

$$S_3=3\cdot 3^2+3\cdot 3+1=27+9+1=37.$$

При $$n=10$$:

$$S_{10}=3\cdot 10^2+3\cdot 10+1=300+30+1=331.$$

б)

Если в шестиугольнике $$127$$ кругов, то

$$3n^2+3n+1=127.$$

Тогда

$$3n^2+3n-126=0,$$

$$n^2+n-42=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+168=169,$$

$$n=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

Получаем $$n=6$$ или $$n=-7$$. Подходит только натуральное значение $$n=6$$.

Ответ

а) $$37$$ кругов; $$331$$ круг.
б) $$6$$ поясов.