Упр.4.59 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Вычислите сумму:
   
   а) $$50^2-49^2+48^2-47^2+\ldots+4^2-3^2+2^2-1^2$$;
   
   б) $$1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots+97^2-98^2+99^2-100^2$$.
   
   Указание. Упростите выражение, воспользовавшись формулой разности квадратов.

а) Используем формулу разности квадратов:

$$50^2-49^2=(50-49)(50+49)=99,$$
$$48^2-47^2=(48-47)(48+47)=95,$$
$$\ldots$$
$$2^2-1^2=(2-1)(2+1)=3.$$

Тогда сумма равна

$$S=1+3+5+\ldots+95+97+99.$$
Это сумма первых 50 нечётных чисел:

$$S=\frac{1+99}{2}\cdot 50=50\cdot 50=2500.$$

б) Аналогично:

$$1^2-2^2=(1-2)(1+2)=-3,$$
$$3^2-4^2=(3-4)(3+4)=-7,$$
$$\ldots$$
$$99^2-100^2=(99-100)(99+100)=-199.$$

Получаем

$$S=-(3+7+11+\ldots+199).$$
Это сумма 50 членов арифметической прогрессии с первым членом $$3$$, последним $$199$$:

$$S=-\frac{3+199}{2}\cdot 50=-101\cdot 50=-5050.$$

Ответ

а) $$2500$$; б) $$-5050$$.