Упр.4.59 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 50^2-49^2+48^2-47^2+…+4^2-3^2+2^2-1^2;
б) 1^2-2^2+3^2-4^2+…+97^2-98^2+99^2-100^2.
Указание. Упростите выражение, воспользовавшись формулой разности квадратов.

а) Используем формулу разности квадратов:

$$ 50^2-49^2=(50-49)(50+49)=99, $$
$$ 48^2-47^2=(48-47)(48+47)=95, $$
$$ \ldots $$
$$ 2^2-1^2=(2-1)(2+1)=3. $$

Тогда сумма равна

$$ S=1+3+5+\ldots+95+97+99. $$
Это сумма первых 50 нечётных чисел:

$$ S=\frac{1+99}{2}\cdot 50=50\cdot 50=2500. $$

б) Аналогично:

$$ 1^2-2^2=(1-2)(1+2)=-3, $$
$$ 3^2-4^2=(3-4)(3+4)=-7, $$
$$ \ldots $$
$$ 99^2-100^2=(99-100)(99+100)=-199. $$

Получаем

$$ S=-(3+7+11+\ldots+199). $$
Это сумма 50 членов арифметической прогрессии с первым членом $$3$$, последним $$199$$:

$$ S=-\frac{3+199}{2}\cdot 50=-101\cdot 50=-5050. $$

Ответ

а) $$2500$$; б) $$-5050$$.