Упр.4.54 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

a_n = 10 — 4n.
а) Составьте формулу для вычисления суммы первых n членов этой прогрессии.
б) Пользуясь этой формулой, найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.
в) Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если в сумме получилось -120?

Дана арифметическая прогрессия $$a_n=10-4n.$$

Найдём первый член:

$$a_1=10-4\cdot 1=6.$$

Тогда сумма первых $$n$$ членов:

$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n =\frac{6+(10-4n)}{2}\cdot n =\frac{16-4n}{2}\cdot n =n(8-2n). $$

а) Формула суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=n(8-2n).$$

б) Найдём сумму первых тридцати членов:

$$ S_{30}=30(8-2\cdot 30)=30(8-60)=30\cdot(-52)=-1560. $$

в) Если сумма первых $$n$$ членов равна $$-120$$, то:

$$ n(8-2n)=-120 $$

$$ 8n-2n^2+120=0 $$

$$ n^2-4n-60=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-60)=16+240=256, $$

$$ n=\frac{4\pm 16}{2}. $$

Получаем:

$$ n_1=-6,\quad n_2=10. $$

Так как число членов прогрессии должно быть натуральным, берём $$n=10$$.

Ответ

а) $$S_n=n(8-2n)$$; б) $$S_{30}=-1560$$; в) $$10$$.