Упр.4.43 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

1) Рассмотрите арифметическую прогрессию 4; 8; 12; … . Возьмите какой-нибудь член этой прогрессии, кроме первого, и убедитесь в том, что он равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.
2) Докажите, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — арифметическая прогрессия:
a) a_1; 12; а_33; 18; а_5; а_б; … ;
б) -7; а_2; —17; …; а_15; —82; а_17; … .

Подробный ответ

Рассмотрим арифметическую прогрессию $$24; 28; 32; \ldots$$
Проверим для среднего члена:
$$28=\frac{24+32}{2}=\frac{56}{2}=28.$$
Значит, каждый внутренний член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.
Пусть дана арифметическая прогрессия $$\left(a_n\right)$$ с разностью $$d$$.
Тогда
$$a_{n-1}=a_1+d(n-2), \quad a_n=a_1+d(n-1), \quad a_{n+1}=a_1+dn.$$
Найдём среднее арифметическое соседних с $$a_n$$ членов:
$$\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_1+d(n-2)+a_1+dn}{2}=\frac{2a_1+2dn-2d}{2}=a_1+dn-d=a_n.$$
Следовательно, $$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$, что и требовалось доказать.
Найдём пропущенные члены.
а) $$a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; \ldots$$
Так как $$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}=\frac{12+18}{2}=15,$$ то
$$d=a_3-a_2=15-12=3.$$
Тогда
$$a_1=a_2-d=12-3=9,$$
$$a_5=a_4+d=18+3=21,$$
$$a_6=a_5+d=21+3=24.$$
Получаем последовательность:
$$9; 12; 15; 18; 21; 24; \ldots$$
б) $$-7; a_2; -17; \ldots; a_{15}; -82; a_{17}; \ldots$$
Найдём второй член:
$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{-7+(-17)}{2}=\frac{-24}{2}=-12.$$
Тогда разность прогрессии:
$$d=a_2-a_1=-12-(-7)=-5.$$
Теперь найдём нужные члены:
$$a_{15}=a_1+14d=-7+14\cdot(-5)=-77,$$
$$a_{17}=a_1+16d=-7+16\cdot(-5)=-87.$$
Получаем последовательность:
$$-7; -12; -17; \ldots; -77; -82; -87; \ldots$$