Упр.4.42 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Докажите, что если каждый член некоторой арифметической прогрессии (а_n) умножить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

а) Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$a_{n+1}-a_n=d.$$

Пусть к каждому члену прибавили одно и то же число $$x$$. Получим последовательность $$b_n=a_n+x$$. Тогда

$$b_{n+1}-b_n=(a_{n+1}+x)-(a_n+x)=a_{n+1}-a_n=d.$$

Разность соседних членов постоянна, значит, последовательность $$b_n$$ тоже является арифметической прогрессией.

Пример: $$1,\,3,\,5,\,7,\,9,\ldots$$. Прибавим к каждому члену $$3$$:

$$4,\,6,\,8,\,10,\,12,\ldots$$

Это арифметическая прогрессия с разностью $$2$$.

б) Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Если каждый член умножить на одно и то же число $$x$$, получим последовательность $$b_n=xa_n$$. Тогда

$$b_{n+1}-b_n=xa_{n+1}-xa_n=x(a_{n+1}-a_n)=xd.$$

Разность соседних членов постоянна, значит, последовательность $$b_n$$ также является арифметической прогрессией.

Пример: $$1,\,3,\,5,\,7,\,9,\ldots$$. Умножим каждый член на $$4$$:

$$4,\,12,\,20,\,28,\,36,\ldots$$

Это арифметическая прогрессия с разностью $$8$$.

Ответ

а) При прибавлении одного и того же числа к каждому члену арифметической прогрессии получается арифметическая прогрессия. Пример: $$1,3,5,7,9,\ldots \to 4,6,8,10,12,\ldots$$

б) При умножении каждого члена арифметической прогрессии на одно и то же число получается арифметическая прогрессия. Пример: $$1,3,5,7,9,\ldots \to 4,12,20,28,36,\ldots$$