Упр.4.41 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Докажите, что если последовательность (а_n) — арифметическая прогрессия, то её члены, взятые через один, также образуют арифметическую прогрессию. Конкретизируйте это примером.

Пусть дана арифметическая прогрессия $$\left(a_n\right)$$ с разностью $$d$$. Тогда

$$a_{n-1}=a_n-d,$$

$$a_{n+1}=a_n+d.$$

Рассмотрим последовательность членов, взятых через один:

$$a_1,\ a_3,\ a_5,\ \ldots$$

Найдём разность соседних членов этой последовательности:

$$a_{n+1}-a_{n-1}=(a_n+d)-(a_n-d)=2d.$$

Разность постоянна и не зависит от номера члена. Значит, последовательность $$a_1,\ a_3,\ a_5,\ldots$$ является арифметической прогрессией с разностью $$2d$$.

Пример: если $$1,\ 5,\ 9,\ 13,\ 17,\ 21,\ldots$$ — арифметическая прогрессия, то члены, взятые через один, образуют последовательность

$$1,\ 9,\ 17,\ldots$$

Её разность равна

$$9-1=8,\qquad 17-9=8.$$

Следовательно, это тоже арифметическая прогрессия.

Ответ

Члены арифметической прогрессии, взятые через один, также образуют арифметическую прогрессию; её разность равна $$2d$$. Например, из прогрессии $$1,\ 5,\ 9,\ 13,\ 17,\ 21,\ldots$$ получаем $$1,\ 9,\ 17,\ldots$$ — арифметическую прогрессию.