Упр.4.40 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Докажите, что последовательность натуральных чисел, которые при делении на k дают в остатке r, является арифметической прогрессией с разностью k.

а) Числа, которые при делении на $$3$$ дают остаток $$2$$, можно записать так:

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

Общий член этой последовательности:

$$a_n=3(n-1)+2=3n-1,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Найдём разность:

$$d=a_{n+1}-a_n=\bigl(3(n+1)-1\bigr)-(3n-1)=3.$$

Значит, это арифметическая прогрессия с разностью $$3$$.

б) Числа, которые при делении на $$k$$ дают остаток $$r$$, имеют вид:

$$r,\ k+r,\ 2k+r,\ 3k+r,\dots$$

Общий член такой последовательности:

$$a_n=k(n-1)+r,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Найдём разность:

$$d=a_{n+1}-a_n=\bigl(k(n+1-1)+r\bigr)-\bigl(k(n-1)+r\bigr)=k.$$

Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $$k$$.

Ответ

а) $$d=3$$; б) $$d=k$$.