Упр.4.17 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) Последовательность (а_n) задана формулой n-го члена: a_n = (2n + 1)/n. Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что все члены последовательности больше 2.
б) Последовательность (b_n) задана формулой n-го члена: b_n = (2n — 1)/n. Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что все члены последовательности меньше 2.
в) Последовательность (у_n) задана формулой n-го члена: y_n = (2n + (-1). Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками па координатной плоскости. Докажите, что каждый следующий член последовательности ближе к 2, чем предыдущий.

1. а) $$a_n=\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}.$$

   Найдём первые семь членов:

   $$a_1=3,\quad a_2=\frac{5}{2},\quad a_3=\frac{7}{3},\quad a_4=\frac{9}{4},\quad a_5=\frac{11}{5},\quad a_6=\frac{13}{6},\quad a_7=\frac{15}{7}.$$

   Так как $$n\in \mathbb{N}$$, то $$\frac{1}{n}>0$$, значит

   $$a_n=2+\frac{1}{n}>2.$$

2. б) $$b_n=\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n}.$$

   Первые семь членов:

   $$b_1=1,\quad b_2=\frac{3}{2},\quad b_3=\frac{5}{3},\quad b_4=\frac{7}{4},\quad b_5=\frac{9}{5},\quad b_6=\frac{11}{6},\quad b_7=\frac{13}{7}.$$

   Так как $$\frac{1}{n}>0$$, то

   $$b_n=2-\frac{1}{n}<2.$$

3. в) $$y_n=\frac{2n+(-1)^n}{n}=2+\frac{(-1)^n}{n}.$$

   Первые семь членов:

   $$y_1=1,\quad y_2=\frac{5}{2},\quad y_3=\frac{5}{3},\quad y_4=\frac{9}{4},\quad y_5=\frac{9}{5},\quad y_6=\frac{13}{6},\quad y_7=\frac{13}{7}.$$

   Расстояние от члена последовательности до числа $$2$$ равно

   $$|y_n-2|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}.$$

   Тогда

   $$|y_{n+1}-2|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=|y_n-2|.$$

   Значит, каждый следующий член последовательности ближе к числу $$2$$, чем предыдущий.

Ответ

а) $$3,\ \frac{5}{2},\ \frac{7}{3},\ \frac{9}{4},\ \frac{11}{5},\ \frac{13}{6},\ \frac{15}{7}$$; все члены больше $$2$$.
б) $$1,\ \frac{3}{2},\ \frac{5}{3},\ \frac{7}{4},\ \frac{9}{5},\ \frac{11}{6},\ \frac{13}{7}$$; все члены меньше $$2$$.
в) $$1,\ \frac{5}{2},\ \frac{5}{3},\ \frac{9}{4},\ \frac{9}{5},\ \frac{13}{6},\ \frac{13}{7}$$; каждый следующий член ближе к $$2$$, чем предыдущий.