Упр.4.146 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Запишем формулу бинома Ньютона:

$$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^n b^n.$$

Подставим $$a=1$$ и $$b=-1$$:

$$(1-1)^n=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\dots+(-1)^nC_n^n.$$

Левая часть равна $$0$$, значит

$$C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\dots+(-1)^nC_n^n=0.$$

Перенесём слагаемые с чётными и нечётными индексами в разные части равенства.

Если $$n$$ чётное, то

$$C_n^0+C_n^2+\dots+C_n^n=C_n^1+C_n^3+\dots+C_n^{n-1}.$$

Если $$n$$ нечётное, то

$$C_n^0+C_n^2+\dots+C_n^{n-1}=C_n^1+C_n^3+\dots+C_n^n.$$

В обоих случаях сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Ответ

$$C_n^0+C_n^2+C_n^4+\dots=\;C_n^1+C_n^3+C_n^5+\dots$$