Упр.4.146 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Указание. Подставьте в формулу бинома Ньютона а = 1 и b = -1.

Запишем формулу бинома Ньютона:

$$ (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^n b^n. $$

Подставим $$a=1$$ и $$b=-1$$:

$$ (1-1)^n=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\dots+(-1)^nC_n^n. $$

Левая часть равна $$0$$, значит

$$ C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\dots+(-1)^nC_n^n=0. $$

Перенесём слагаемые с чётными и нечётными индексами в разные части равенства.

Если $$n$$ чётное, то

$$ C_n^0+C_n^2+\dots+C_n^n=C_n^1+C_n^3+\dots+C_n^{n-1}. $$

Если $$n$$ нечётное, то

$$ C_n^0+C_n^2+\dots+C_n^{n-1}=C_n^1+C_n^3+\dots+C_n^n. $$

В обоих случаях сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Ответ

$$ C_n^0+C_n^2+C_n^4+\dots=\;C_n^1+C_n^3+C_n^5+\dots $$