Упр.4.140 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Указание. Можно доказать это разными способами:
1) воспользуйтесь результатом задачи 709;
2) подставьте в формулу бинома Ньютона а = 1 и b = 1.

Рассмотрим сумму чисел $n$-й строки треугольника Паскаля.

1) Первый способ. Из предыдущего результата известно, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Первая строка состоит из одного числа $1$, значит её сумма равна $2^0$.

Тогда для строки с номером $n$ сумма равна

$$2^n.$$

2) Второй способ. По формуле бинома Ньютона

$$ (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^nb^n. $$

Подставим $a=1$ и $b=1$:

$$ (1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n. $$

Левая часть равна $2^n$, значит

$$ C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n=2^n. $$

Это и требовалось доказать.

Ответ

Сумма чисел строки с номером $n$ треугольника Паскаля равна $2^n$.