Упр.4.138 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Объясните, почему так получается. (Вам может помочь схема на рис. 4.21.)

Проверим сумму элементов нескольких строк треугольника Паскаля:

$$1=1$$

$$1+1=2$$

$$1+2+1=4$$

$$1+3+3+1=8$$

$$1+4+6+4+1=16$$

$$1+5+10+10+5+1=32$$

Видно, что суммы строк каждый раз удваиваются.

Обозначим сумму элементов строки с номером $$n$$ через $$S_n$$. Тогда

$$S_n=1+a_1+a_2+\dots+a_{n-1}+1=2+a_1+a_2+\dots+a_{n-1}.$$

В следующей строке каждый внутренний элемент равен сумме двух соседних элементов предыдущей строки, а по краям стоят единицы. Поэтому

$$ S_{n+1}=1+(1+a_1)+(a_1+a_2)+\dots+(a_{n-2}+a_{n-1})+(a_{n-1}+1)+1 $$
$$ =4+2a_1+2a_2+\dots+2a_{n-1} =2(2+a_1+a_2+\dots+a_{n-1}) =2S_n. $$

Значит, сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки.

Ответ

Сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в 2 раза больше суммы элементов предыдущей строки: $$S_{n+1}=2S_n$$.