Упр.4.13 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Последовательность $$(z_n)$$ задана формулой n-го члена: $$z_n=n-\frac{1}{n}$$.
   
   1) Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10. Сколько таких членов?
   
   2) Сравните $$z_{10}-z_9$$ и $$z_{100}-z_{99}$$.

Дана последовательность $$z_n=n-\frac{1}{n}.$$

1) Найдём члены последовательности, меньшие $$10$$:

$$z_1=1-\frac11=0,\quad z_2=2-\frac12=1{,}5,\quad z_3=3-\frac13=2\frac23,$$
$$z_4=4-\frac14=3{,}75,\quad z_5=5-\frac15=4{,}8,\quad z_6=6-\frac16=5\frac56,$$
$$z_7=7-\frac17=6\frac67,\quad z_8=8-\frac18=7\frac78,\quad z_9=9-\frac19=8\frac89,\quad z_{10}=10-\frac1{10}=9{,}9.$$

При $$n=11$$ получаем:

$$z_{11}=11-\frac1{11}=10\frac{10}{11}>10.$$

Значит, меньше $$10$$ первые десять членов последовательности.

2) Сравним разности:

$$z_{10}-z_9=\left(10-\frac1{10}\right)-\left(9-\frac19\right) =1+\frac19-\frac1{10} =1+\frac1{90},$$
$$z_{100}-z_{99}=\left(100-\frac1{100}\right)-\left(99-\frac1{99}\right) =1+\frac1{99}-\frac1{100} =1+\frac1{9900}.$$

Так как $$\frac1{90}>\frac1{9900},$$ то

$$z_{10}-z_9>z_{100}-z_{99}.$$

Ответ

1) $$0;\ 1{,}5;\ 2\frac23;\ 3{,}75;\ 4{,}8;\ 5\frac56;\ 6\frac67;\ 7\frac78;\ 8\frac89;\ 9{,}9.$$ Таких членов $$10$$.

2) $$z_{10}-z_9>z_{100}-z_{99}.$$