Упр.4.111 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + … + x^50, где x ? 0 и x ? 1;
б) x + 2x + 3x + 4x + 5x + … + 100x;
в) x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^10 + … + x^100, где x ? 0 и x ? ±1;
г) x · x^2 · x^3 · x^4 · x^5 · … · x^50.
Подсказка. В каждом случае найдите геометрическую или арифметическую прогрессию.

1. $$x+x^2+x^3+\dots+x^{50}, \quad x\ne 0,\ x\ne 1$$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=x$$ и знаменателем $$q=x$$.

   $$S_{50}=\frac{b_1(q^{50}-1)}{q-1}=\frac{x(x^{50}-1)}{x-1}=\frac{x^{51}-x}{x-1}$$

2. $$x+2x+3x+4x+\dots+100x$$

   Вынесем $$x$$ за скобки:

   $$x(1+2+3+\dots+100)$$

   Сумма первых 100 натуральных чисел:

   $$1+2+3+\dots+100=\frac{100\cdot 101}{2}=5050$$

   Значит,
   $$x+2x+3x+\dots+100x=5050x$$

3. $$x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10}+\dots+x^{100}, \quad x\ne 0,\ x\ne \pm 1$$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=x^2$$ и знаменателем $$q=x^2$$.

   $$S_{50}=\frac{b_1(q^{50}-1)}{q-1}=\frac{x^2(x^{100}-1)}{x^2-1}=\frac{x^{102}-x^2}{x^2-1}$$

4. $$x\cdot x^2\cdot x^3\cdot x^4\cdot x^5\cdot \dots \cdot x^{50}$$

   При умножении степеней показатели складываются:

   $$x^{1+2+3+\dots+50}$$

   $$1+2+3+\dots+50=\frac{50\cdot 51}{2}=1275$$

   Значит,
   $$x\cdot x^2\cdot x^3\cdot \dots \cdot x^{50}=x^{1275}$$

Ответ

а) $$\frac{x^{51}-x}{x-1}$$; б) $$5050x$$; в) $$\frac{x^{102}-x^2}{x^2-1}$$; г) $$x^{1275}$$.