Упр.4.110 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Известны два члена геометрической прогрессии (b_n): b_3 = 2, b_6 = -54. Найдите S_6.

а) Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}.$$

Из условий:

$$b_2=b_1q=-8,\qquad b_8=b_1q^7=-\frac18.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$q^6=\frac{b_8}{b_2}=\frac{-\frac18}{-8}=\frac1{64}.$$

Тогда

$$q=\pm \frac12.$$

Найдём сумму первых восьми членов по формуле

$$S_8=\frac{b_1(1-q^8)}{1-q}.$$

1) При $$q=-\frac12$$:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{-8}{-\frac12}=16,$$

$$S_8=\frac{16\left(1-\left(-\frac12\right)^8\right)}{1+\frac12} =\frac{16\left(1-\frac1{256}\right)}{\frac32} =\frac{85}{8}.$$

2) При $$q=\frac12$$:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{-8}{\frac12}=-16,$$

$$S_8=\frac{-16\left(1-\left(\frac12\right)^8\right)}{1-\frac12} =-\frac{255}{8}.$$

б) Из условий:

$$b_3=b_1q^2=2,\qquad b_6=b_1q^5=-54.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$q^3=\frac{b_6}{b_3}=\frac{-54}{2}=-27,$$

откуда

$$q=-3.$$

Тогда

$$b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{2}{(-3)^2}=\frac29.$$

Найдём сумму первых шести членов:

$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1} =\frac{\frac29\,(729-1)}{-3-1} =\frac29\cdot\frac{728}{-4} =-\frac{364}{9}.$$

Ответ

а) $$\frac{85}{8}$$ или $$-\frac{255}{8}$$; б) $$-\frac{364}{9}$$.