Упр.4.108 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Сколько последовательных членов геометрической прогрессии $$1; -2; 4; -8; 16; \ldots$$ нужно сложить, чтобы получить сумму, равную: а) $$-85$$; б) $$171$$?

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=-2$$.

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

1. Пусть $$S_n=-85$$. Тогда

   $$\frac{1\cdot\left((-2)^n-1\right)}{-2-1}=-85,$$

   $$\frac{(-2)^n-1}{-3}=-85,$$

   $$(-2)^n-1=255,$$

   $$(-2)^n=256=2^8,$$

   значит, $$n=8$$.

2. Пусть $$S_n=171$$. Тогда

   $$\frac{1\cdot\left((-2)^n-1\right)}{-2-1}=171,$$

   $$\frac{(-2)^n-1}{-3}=171,$$

   $$(-2)^n-1=-513,$$

   $$(-2)^n=-512=(-2)^9,$$

   значит, $$n=9$$.

Ответ

а) $$8$$; б) $$9$$.