Упр.4.107 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/5, а сумма первых четырёх её членов равна 62 2/5. Найдите сумму первых двух членов этой прогрессии.

а) Для геометрической прогрессии при $$q=-5$$ и $$S_3=-21$$ используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Тогда

$$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}, \qquad b_1=\frac{S_3(q-1)}{q^3-1}.$$

Подставим значения:

$$b_1=\frac{-21\cdot(-5-1)}{(-5)^3-1}=\frac{-21\cdot(-6)}{-125-1}=\frac{126}{-126}=-1.$$

Теперь найдём сумму первых шести членов:

$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{-1\cdot\left((-5)^6-1\right)}{-5-1}=\frac{15625-1}{6}=2604.$$

б) Здесь $$q=\frac15$$ и $$S_4=62\frac25=\frac{312}{5}.$$ Используем формулу

$$S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q},$$

откуда

$$b_1=\frac{S_4(1-q)}{1-q^4}.$$

Подставим:

$$b_1=\frac{\frac{312}{5}\left(1-\frac15\right)}{1-\left(\frac15\right)^4} =\frac{\frac{312}{5}\cdot\frac45}{1-\frac{1}{625}} =\frac{312\cdot4}{25}\cdot\frac{625}{624}=50.$$

Тогда

$$b_2=b_1q=50\cdot\frac15=10,$$

и сумма первых двух членов равна

$$S_2=b_1+b_2=50+10=60.$$

Ответ

а) $$2604$$; б) $$60$$.