Упр.4.106 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен -9, а знаменатель равен -3.

а) Для геометрической прогрессии $$b_4=b_1q^3.$$ Тогда

$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac{3}{64}}{\left(\frac12\right)^3}=\frac{3}{64}\cdot 8=\frac38.$$

Сумма первых восьми членов:

$$S_8=\frac{b_1(1-q^8)}{1-q}.$$

Подставим значения:

$$S_8=\frac{\frac38\left(1-\left(\frac12\right)^8\right)}{1-\frac12} =\frac{\frac38\left(1-\frac1{256}\right)}{\frac12} =\frac38\cdot\frac{255}{256}\cdot 2 =\frac{765}{1024}.$$

б) Здесь $$b_5=b_1q^4.$$ Тогда

$$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{-9}{(-3)^4}=\frac{-9}{81}=-\frac19.$$

Сумма первых десяти членов:

$$S_{10}=\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}.$$

Подставим значения:

$$S_{10}=\frac{-\frac19\left((-3)^{10}-1\right)}{-3-1} =\frac{-\frac19(59049-1)}{-4} =\frac{-\frac19\cdot 59048}{-4} =\frac{14762}{9} =1640\frac29.$$

Ответ

а) $$\frac{765}{1024}$$; б) $$1640\frac29$$.