Упр.4.104 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Фигура, изображённая на рисунке 4.17, состоит из прямоугольников, причём каждый следующий в 1,5 раза выше предыдущего. Найдите площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников; из n прямоугольников. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 dorofeev9 4-104 95

Площади прямоугольников образуют геометрическую прогрессию, так как каждый следующий прямоугольник в $$1{,}5$$ раза выше предыдущего.

Первый член прогрессии:

$$s_1=1\cdot 1=1.$$

Знаменатель прогрессии:

$$q=1{,}5=\frac{3}{2}.$$

Тогда сумма площадей первых $$n$$ прямоугольников равна

$$S_n=\frac{s_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим значения:

$$S_n=\frac{1\cdot\left(1{,}5^n-1\right)}{1{,}5-1}=2\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right).$$

Преобразуем:

$$S_n=2\cdot\frac{3^n}{2^n}-2=\frac{3^n}{2^{n-1}}-2.$$

Для $$n=5$$ получаем:

$$S_5=2\left(\left(\frac{3}{2}\right)^5-1\right)=2\left(\frac{243}{32}-1\right)=2\cdot\frac{211}{32}=\frac{211}{16}=13\frac{3}{16}.$$

Ответ

$$S_5=13\frac{3}{16}, \qquad S_n=2\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)=\frac{3^n}{2^{n-1}}-2.$$