Упр.4.102 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 4 + 12 + 36 + … + 4 · 3^9;
б) -3 — 6 — 12 — …- 3 · 2^7;
в) 1 — 2 + 4 — 8 + 16 — … — 2^9;
г) 3^0 — 3^1 + 3^2 — … + 3^10.

Последовательности в каждом пункте являются геометрическими прогрессиями, поэтому используем формулу суммы первых n членов:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

1. $$4+12+36+\dots+4\cdot 3^9$$

   Здесь $$b_1=4,\ q=3.$$ Последний член:

   $$4\cdot 3^9=b_1q^{n-1}$$

   Значит, $$n-1=9,\ n=10.$$ Тогда

   $$S_{10}=\frac{4(3^{10}-1)}{3-1}=2(3^{10}-1)=2(59049-1)=118096.$$

2. $$-3-6-12-\dots-3\cdot 2^7$$

   Здесь $$b_1=-3,\ q=2.$$ Последний член:

   $$-3\cdot 2^7=b_1q^{n-1}$$

   Следовательно, $$n-1=7,\ n=8.$$ Тогда

   $$S_8=\frac{-3(2^8-1)}{2-1}=-3(256-1)=-765.$$

3. $$1-2+4-8+16-\dots-2^9$$

   Это геометрическая прогрессия с $$b_1=1,\ q=-2.$$ Последний член:

   $$(-2)^9=-2^9,$$

   значит, $$n=10.$$ Тогда

   $$S_{10}=\frac{1\cdot((-2)^{10}-1)}{-2-1}=\frac{1024-1}{-3}=-341.$$

4. $$3^0-3^1+3^2-\dots+3^{10}$$

   Это геометрическая прогрессия с $$b_1=1,\ q=-3.$$ Последний член:

   $$(-3)^{10}=3^{10},$$

   значит, $$n=11.$$ Тогда

   $$S_{11}=\frac{1\cdot((-3)^{11}-1)}{-3-1}=\frac{-177147-1}{-4}=44287.$$

Ответ

а) $$118096$$; б) $$-765$$; в) $$-341$$; г) $$44287$$.