Упр.4.100 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Из одинаковых кубиков строится две ступенчатые фигуры (рис. 4.16). В первом случае столбики растут равномерно, а во втором высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с высотой предыдущего. Сколько кубиков потребуется для каждой из фигур, если в них содержится: по 8 столбиков; по n столбиков?

1) Для первой фигуры высоты столбиков образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1=1,\quad d=1.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим $$a_1=1$$ и $$d=1$$:

$$S_n=\frac{2+(n-1)}{2}\cdot n=\frac{n+1}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}.$$

При $$n=8$$:

$$S_8=\frac{8+8^2}{2}=\frac{8+64}{2}=\frac{72}{2}=36.$$

2) Для второй фигуры высоты столбиков образуют геометрическую прогрессию:

$$b_1=1,\quad q=2.$$

Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим $$b_1=1$$ и $$q=2$$:

$$S_n=\frac{1\cdot(2^n-1)}{2-1}=2^n-1.$$

При $$n=8$$:

$$S_8=2^8-1=256-1=255.$$

Ответ

При 8 столбиках: первая фигура — $$36$$ кубиков, вторая фигура — $$255$$ кубиков.

При $$n$$ столбиках: первая фигура — $$\frac{n(n+1)}{2}$$ кубиков, вторая фигура — $$2^n-1$$ кубиков.