Упр.328(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Постройте график функции у = (x^3 — x^2 — 2x) / (x — 2). Определите множество значений х, при которых значения функции положительны.

Подробный ответ

а) Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{4x-x^3}{2x+4}=\frac{x(4-x^2)}{2(x+2)}=\frac{x(2-x)(2+x)}{2(x+2)}=\frac{x(2-x)}{2}=\frac{2x-x^2}{2}=x-\frac12x^2. $$

Но при этом исходная функция имеет смысл только при $$2x+4\ne 0,$$ то есть $$x\ne -2.$$

Получили параболу $$y=x-\frac12x^2.$$ Найдём её нули:

$$ x-\frac12x^2=0 \\ x\left(1-\frac{x}{2}\right)=0 \\ x=0 \text{ или } x=2. $$

Так как ветви параболы направлены вниз, то $$y<0$$ вне промежутка между корнями, а между корнями значения положительны. С учётом точки разрыва $$x=-2$$ получаем:

$$ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(2;+\infty). $$

б) Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{x^3-x^2-2x}{x-2}=\frac{x(x^2-x-2)}{x-2}=\frac{x(x-2)(x+1)}{x-2}=x(x+1)=x^2+x. $$

Но исходная функция имеет смысл только при $$x\ne 2.$$

Найдём нули полученной параболы:

$$ x^2+x=0 \\ x(x+1)=0 \\ x=-1 \text{ или } x=0. $$

Парабола $$y=x^2+x$$ направлена вверх, значит $$y>0$$ вне промежутка между корнями. С учётом ограничения $$x\ne 2$$ получаем:

$$ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;2)\cup(2;+\infty). $$