Упр.316(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (х^2 + 1)(х — 6)(х + 3) > 0;
б) (х^2 + х + 2)(х^2 — 5х + 4)(х — 2) ? 0;
в) (Зх^2 + 1)(х^2 + х — 6) ? 0.
Подсказка, а) При любом значении х множитель х^2 + 1 принимает положительные значения, поэтому неравенство можно заменить равносильным более простого вида.

Подробный ответ

а) $$\left(x^2+1\right)(x-6)(x+3)>0.$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ то получаем равносильное неравенство:
$$\left(x-6\right)\left(x+3\right)>0.$$
Нули: $$x=-3$$ и $$x=6.$$ Произведение положительно вне промежутка между корнями.
$$x\in(-\infty;-3)\cup(6;+\infty).$$
б) $$\left(x^2+x+2\right)\left(x^2-5x+4\right)(x-2)\le 0.$$
Рассмотрим первый множитель:
$$D=1-8=-7<0,$$ значит $$x^2+x+2>0$$ при любых $$x.$$
Тогда неравенство равносильно:
$$\left(x^2-5x+4\right)(x-2)\le 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$
Получаем:
$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\le 0.$$
Нули: $$x=1,\;2,\;4.$$ По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-\infty;1]\cup[2;4].$$
в) $$\left(3x^2+1\right)\left(x^2+x-6\right)\ge 0.$$
Так как $$3x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ то достаточно решить:
$$x^2+x-6\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$
Тогда:
$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)\ge 0.$$
Нули: $$x=-3$$ и $$x=2.$$ Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями.
$$x\in(-\infty;-3]\cup[2;+\infty).$$