Упр.3.84 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Дорога от посёлка Аникеевка до посёлка Баковка состоит из двух участков: 6 км подъёма и 5 км спуска. Велосипедист доехал от Аникеевки до Баковки за 1 ч. Его скорость при подъёме на 12 км/ч меньше, чем при спуске. Найдите скорость велосипедиста при подъёме и при спуске.
б) Пешеход прошёл путь от Баковки до Аникеевки (см. задачу а) за 2 ч 40 мин. Его скорость при спуске на 3 км/ч больше, чем при подъёме. За какое время пешеход пройдёт обратный путь?

Подробный ответ

а) Пусть $$x$$ км/ч — скорость велосипедиста при подъёме, тогда $$x+12$$ км/ч — при спуске.

Время на подъём: $$\frac{6}{x}$$ ч, время на спуск: $$\frac{5}{x+12}$$ ч. По условию:

$$\frac{6}{x}+\frac{5}{x+12}=1$$

Умножим на $$x(x+12)$$:

$$6(x+12)+5x=x(x+12)$$

$$6x+72+5x=x^2+12x$$

$$x^2+x-72=0$$

$$D=1+288=289=17^2$$

$$x_1=\frac{-1-17}{2}=-9,\qquad x_2=\frac{-1+17}{2}=8$$

Скорость не может быть отрицательной, значит $$x=8$$ км/ч. Тогда скорость при спуске:

$$8+12=20$$

б) Пусть $$x$$ км/ч — скорость пешехода при подъёме, тогда $$x+3$$ км/ч — при спуске.

Пешеход шёл от Баковки до Аникеевки за $$2\text{ ч }40\text{ мин}=\frac{8}{3}$$ ч. На этом пути он шёл сначала в гору $$5$$ км, затем под гору $$6$$ км, поэтому:

$$\frac{5}{x}+\frac{6}{x+3}=\frac{8}{3}$$

Умножим на $$3x(x+3)$$:

$$15(x+3)+18x=8x(x+3)$$

$$15x+45+18x=8x^2+24x$$

$$8x^2-9x-45=0$$

$$D=81+1440=1521=39^2$$

$$x_1=\frac{9-39}{16}=-\frac{30}{16},\qquad x_2=\frac{9+39}{16}=3$$

Берём положительное значение: $$x=3$$ км/ч.

Тогда на обратном пути пешеход затратит:

$$\frac{6}{3}+\frac{5}{3+3}=2+\frac{5}{6}=\frac{17}{6}\text{ ч}=2\text{ ч }50\text{ мин}$$